题目内容
【题目】在三棱台中,
是等边三角形,二面角
的平面角为
,
.
(I)求证:;
(II)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)
【解析】
(I)先由线面垂直的判定定理证明平面
,进而可得
;
(II)可以在几何体中作出直线与平面
所成的角,解三角形即可;也可用向量的方法建立适当的坐标系,求出直线的方向向量以及平面的法向量,根据向量夹角的余弦值确定线面角的正弦值.
(I)证明:设,
与
交于点
,取棱
的中点
,连结
.
因,
,
故.
又是棱
的中点,
故.
同理
又平面
,且
,
因此平面
,
又平面
,
所以;
(II)方法一:
作,垂足为
.
因平面
,
故平面
,
从而为直线
与平面
所成的角.
不妨设,则
,
,
所以.
方法二:如图,以为原点建立空间直角坐标系
,
由(I),为二面角
的平面角,则
,
设,
,则点
,
,
,
.
设为平面
,即平面
的一个法向量,
由 ,得
,
令,则
,即
.
.
设是直线
与平面
所成的角,
则.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着手机的发展,“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.
年龄(单位:岁) |
|
|
|
|
| |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
(1)若以“年龄45岁为分界点”,由以上统计数据完成下面列联表,并判断是否有99%
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(2)若从年龄在的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样,抽样人数分别3人与2人,现对抽样的5人进行追踪调查,在5人中抽取3人做专访,求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中
.
【题目】为了研究某学科成绩是否与学生性别有关,采用分层抽样的方法,从高二年级抽取了名男生和
名女生的该学科成绩,得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图,规定
分以上为优分(含
分).
(1)(i)请根据图示,将2×2列联表补充完整;
优分 | 非优分 | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
总计 | 50 |
(ii)据列联表判断,能否在犯错误概率不超过的前提下认为“学科成绩与性别有关”?
(2)将频率视作概率,从高二年级该学科成绩中任意抽取名学生的成绩,求成绩为优分人数
的分布列与数学期望.
参考公式:.
参考数据:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |