题目内容
【题目】奥运会排球预选赛有支球队参加,其中每两队比赛一场,每场比赛必决出胜负。如果其中有
支球队
满足:
胜
,
胜
,
胜
,
胜
,则称这
支球队组成一个“
阶连环套”。证明:若全部
支球队组成一个
阶连环套,则对于每个
及每支球队
,
必与另外某些球队组成一个
阶连环套。
【答案】见解析
【解析】
以为顶点.如球队
胜
,则在两点间连一有向边:
,如此得
阶竞赛图
.据条件,
的
个顶点可以排成一个
阶有向圈,设为
.则
的任两点可沿箭头方向相互到达.
首先证明:任一球队必在某个三阶连环套中.
用分别表示被
击败了的球队集合和击败了
的所有球队集合.由于
双向连通,必有
,使得
.于是,
组成三阶连环套.
假若已证得,对于,图中存在以
为一顶点的
阶连环套
,圈
之外的点的集合为
.
若中有一点
,它所表示的球队既击败了圈
中的某个队
,又被圈
中的另一个队
所击败,点
把圈
分成两条有向路
,其中一条,例如
它与有向路
组成有向圈.
依次考虑路上各点与点
间的邻接情况,必有相邻的两点
满足
,而
.现去掉边
,而将路
插入其间,便得到一个含有顶点
的
阶连环套.
若中的任一点
,它所表示的球队要么击败了圈
中的每个队,要么被圈
中的每个队所击败,则集合
可分为两个不交的子集
,其中,
中的任一队战胜了圈
中所有的队,而
中的任一队负于圈
中所有的队.由于图
双向连通,故在集合
中必有点
,集合
中有点
,使得
.在圈
中任意去掉一个点
,而用路
代替,便得到一个含有顶点
的
阶连环套,故结论对于
成立.
由归纳法,结论成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】“日行一万步,健康你一生”的养生观念已经深入人心,由于研究需要,某学生收集了“微信运动”中100名成员一天的行走步数,对这100个数据按组距为2500进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计表:
步数分组统计表(设步数为)
组别 | 步数分组 | 频数 |
10 | ||
20 | ||
10 | ||
已知达到“日行一万步,健康你一生”标准的频率为.
(1)求,
的值;
(2)以频率估计概率,从该“微信运动”中任意抽取3名成员,记其中达到“日行一万步,健康你一生”标准的人数为,求
的分布列和数学期望.