Question

1．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-ax}{lnx}$
（1）若f（x）＞0对其定义域内任意x成立，求a的值；
（2）当a=0时，求f（x）在区间[e${\;}^{\frac{1}{4}}$，e]上最值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的定义域，由题意得到不等式组，结合图象从而得到答案；
（2）将a=0代入求出函数的表达式，得到f（x）的导函数，从而求出函数的单调区间，进而求出最值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{{x}^{2}-ax}{lnx}$，
∴函数f（x）的定义域是（0，1）∪（1，+∞），
若f（x）＞0对其定义域内的任意x成立，
需满足①则0＜x＜1时，$\left\{\begin{array}{l}{lnx＜0}\\{{x}^{2}-ax＜0}\end{array}\right.$，②x＞1时，$\left\{\begin{array}{l}{lnx＞0}\\{{x}^{2}-ax＞0}\end{array}\right.$，
画出函数的图象，如图示：

显然a=1时符合题意，
故a=1；
（2）a=0时，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，f′（x）=$\frac{x（2lnx-1）}{{（lnx）}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{e}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{e}$且x≠1，
∴f（x）在[${e}^{\frac{1}{4}}$，$\sqrt{e}$]递减，在[$\sqrt{e}$，e]递增，
∴f（x）_最小值=f（$\sqrt{e}$）=e，
而f（${e}^{\frac{1}{4}}$）=4$\sqrt{e}$＜f（e）=e²，
∴f（x）在区间[e${\;}^{\frac{1}{4}}$，e]上的最大值是e²，最小值是e．

点评 本题考查了数形结合思想，考查导数的应用，函数的单调性问题，是一道中档题．