Question

【题目】已知不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜2a．
（1）若a=1，求不等式的解集；
（2）若已知不等式有解，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：|x﹣3|+|x﹣4|＜2，

①x≤3，则3﹣x+4﹣x＜2，x＞ ，∴ ＜x≤3

②若3＜x＜4，则1＜2，∴3＜x＜4．…（4分）

③若x≥4，则x﹣3+x﹣4＜2，x＜ ，∴4≤x＜

综上，不等式的解集为（ ， ）

（2）解：|x﹣3|+|x﹣4|≥|x﹣3﹣x+4|=1，

∵不等式有解，∴2a＞1，∴a＞ ．）

【解析】（1）分类讨论，即可求不等式的解集； （2）由条件利用绝对值三角不等式求得|x﹣3|+|x﹣4|≥|x﹣3﹣x+4|=1，结合题意可得a的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．