题目内容
【题目】设函数f(x)的解析式满足 .
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当a=1时,试判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并加以证明;
(3)当a=1时,记函数 ,求函数g(x)在区间 上的值域.
【答案】
(1)解:设x+1=t(t≠0),则x=t﹣1,
∴
∴
(2)解:当a=1时,
f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
证明:设0<x1<x2<1,则
∵0<x1<x2<1,∴x1﹣x2<0,x1x2>0,x1x2﹣1<0,
∴ ,∴f(x1)﹣f(x2)>0f(x1)>f(x2)
所以,f(x)在(0,1)上单调递减,
同理可证得f(x)在(1,+∞)上单调递增
(3)解:∵ ,
∴g(x)为偶函数,
所以,∴y=g(x)的图象关于y轴对称,
又当 时,由(2)知 在 单调减,[1,2]单调增,
∴
∴当a=1时,函数g(x)在区间 上的值域的为
【解析】(1)根据整体思想x+1=t(t≠0),则x=t﹣1,代入即可得到答案;(2)先把解析式化简后判断出单调性,再利用定义法证明:在区间上取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论,因解析式由分式,故变形时必须用通分.(3)根据题意判断出函数g(x)的奇偶性,根据(2)中函数的单调性,即可求出函数g(x)在区间 上的值域.
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