数列{an}的前n项和记为Sn.前kn项和记为Skn(n.k∈N*).对给定的常数k.若S(k+1)nSkn是与n无关的非零常数t=f(k).则称该数列{an}是“k类和科比数列．(1)已知Sn=43an-23(n∈N*).求数列{an}的通项公式,的条件下.数列an=2cn.求证数列cn是一个“1 类和科比数列 ,(3)设等差数列{bn}是一个“k类和科� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

数列{a_n}的前n项和记为S_n，前kn项和记为S_kn（n，k∈N^*），对给定的常数k，若

S(k+1)n

Skn

是与n无关的非零常数t=f（k），则称该数列{a_n}是“k类和科比数列”．
（1）已知Sn=

an-

(n∈N*)，求数列{a_n}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，数列an=2cn，求证数列c_n是一个“1 类和科比数列”（4分）；
（3）设等差数列{b_n}是一个“k类和科比数列”，其中首项b₁，公差D，探究b₁与D的数量关系，并写出相应的常数t=f（k）．

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1可以推导出数列a_n为等比数列，然后将a₁=2，q=4代入等比数列的通项公式即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）根据（1）中求出的an的通项公式便可求出cn的通项公式为cn=2n-1，然后求出

S2n

为定值，便可证明数列c_n是一个“1 类和科比数列”；
（3）根据题中“k类和科比数列”的定义，将

S(k+1)n

Skn

=t便可求出D与b₁的关系，继而可以求出常数t的表达式．

解答：解：（1）联立：

Sn=

an-

Sn-1=

an-1-

(n≥2)

，
∴

an-

an-1=an，
∴

an-1

=4(n≥2)，
所以{a_n}是等比数列，
由 a1=

a1-

，得 a₁=2，
故 a_n=2•4^n-1=2^2n-1．
（2）c_n=2n-1前n项的和S_n=n²（1分）
S_2n=4n²，

S2n

=4，
所以数列{a_n}是一个“1类和科比数列”．
（3）对任意一个等差数列数列b_n，首项b₁，公差D，
Skn=knb1+

kn(kn-1)

D．
S(k+1)n=(k+1)nb1+

(k+1)n((k+1)n-1)

D，

S(k+1)n

Skn

(k+1)b1+

(k+1)((k+1)n-1)

kb1+

k(kn-1)

=t，对一切n∈N^*恒成立，
2（k+1）b₁+（k+1）（（k+1）n-1）=2ktb₁+k（kn-1）Dt对一切n∈N^*恒成立，
（k+1-kt）（2b₁-D）=n•D（k²t-（k+1）²）对一切n∈N^*恒成立，
所以

(k2t-(k+1)2)D=0

(k+1-kt)(2b1-D)=0

，
D=2b₁，
所以t=(

k+1

)2．

点评：本题考查了等差数列的基本性质以及数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．

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