Question

17．若直线l：$x-\sqrt{3}y+3=0$与圆C：x²-2ax+y²=0有交点，则直线l的斜率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，实数a的取值范围为（-∞，-1]∪[3，+∞）．

Answer 1

分析 直线l：x-$\sqrt{3}$y+3=0，可化为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，可得直线l的斜率；由直线与圆有交点，得到圆心到直线的距离小于等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于a的不等式可得到a的取值范围

解答 解：直线l：x-$\sqrt{3}$y+3=0，可化为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，直线l的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
圆C：x²-2ax+y²=0的圆心坐标为（a，0），半径为|a|．
∵直线l：x-$\sqrt{3}$y+3=0与圆C：x²-2ax+y²=0有交点，
∴圆心（a，0）到直线的距离d≤r，
即$\frac{|a+3|}{\sqrt{1+3}}$≤|a|，
解得：a≤-1或a≥3．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$；（-∞，-1]∪[3，+∞）．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆有交点，得到圆心到直线的距离小于等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．