Question

5．平面内一动点 M（x，y）到定点F（0，1）和到定直线y=-1的距离相等，设M的轨迹是曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）在曲线C上找一点P，使得点P到直线y=x-2的距离最短，求出P点的坐标；
（3）设直线l：y=x+m，问当实数m为何值时，直线l与曲线C有交点？

Answer 1

分析 （1）通过设C的方程为x²=2py（p＞0），利用定义即得结论；
（2）设点P（x₀，y₀），利用由点到直线距离公式、配方法，计算即得结论；
（3）通过联立y=x+m和x²=4y，只需令△≥0，计算即可．

解答 解：（1）依题意知曲线C是抛物线，设其方程为x²=2py（p＞0），
由定义可得$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
∴抛物线C的方程为x²=4y；
（2）设点P（x₀，y₀），则有${{x}_{0}}^{2}$=4y₀，
记点P到直线y=x-2的距离为d，
则d=$\frac{|{x}_{0}-{y}_{0}-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|{x}_{0}-\frac{1}{4}{{x}_{0}}^{2}-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\frac{1}{4}（{x}_{0}-2）^{2}+1|}{\sqrt{2}}$，
∴当x₀=2，y₀=1即P（2，1）时，点P到直线y=x-2的距离最短，最短距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）由题意，联立y=x+m和x²=4y，
消去y并整理得：x²-4x-4m=0，
∵直线与曲线C有交点，∴△=（-4）²+16m≥0，
∴m≥-1，即当实数m≥-1时，直线l与曲线C有交点．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．