Question

（2013•松江区二模）已知函数f(x)=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

，设F（x）=x²•f（x），则F（x）是（　　）

A．奇函数，在（-∞，+∞）上单调递减

B．奇函数，在（-∞，+∞）上单调递增

C．偶函数，在（-∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增

D．偶函数，在（-∞，0）上递增，在（0，+∞）上递减

Answer 1

分析：由f（-x）=-f（x）可知f（x）为奇函数，利用奇偶函数的概念即可判断设F（x）=x²•f（x）的奇偶性，从而得到答案．

解答：解：∵f（-x）=

-1，x＞0 0，x=0 1，x＜0

=-

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
又F（x）=x²•f（x），
∴F（-x）=（-x）²•f（-x）=-x²•f（x）=-F（x），
∴F（x）是奇函数，可排除C，D．
又F（x）=x²•f（x）=

x2，x＞0 0，x=0 -x2，x＜0

，
∴F（x）在（-∞，+∞）上单调递增，可排除A，
故选B．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，着重考查函数奇偶性的定义的应用，属于基础题．