Question

【题目】设有关于x的一元二次方程＝0．

(1)若a是从集合A={x∈Z|0≤x≤3}中任取一个元素，b是从集合B={x∈Z|0≤x≤2}中任取一个元素，求方程＝0恰有两个不相等实根的概率;

(2) 若a是从集合A={x|0≤x≤3}中任取一个元素，b是从集合B={x|0≤x≤2}中任取一个元素，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

【答案】(1)； （2）.

【解析】

（1）本题是古典概型，由分步计数原理知基本事件共12个，当a≥0，b≥0时，方程x2+2ax+b2=0有两个不相等实根的充要条件为a＞b，满足条件的事件中包含6个基本事件，由古典概型公式得到结果；

（2）本题是几何概型，试验的全部约束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．构成事件B的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a＞b}，画出图形，求出对应面积，由面积比得答案．

(1)由题意知a取集合{0，1，2，3}中任一个元素，b取集合{0，1，2}中任一个元素，a，b取值的所有情况是:(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为12. 记“方程恰有两个不相等的实根”为事件A， 其等价于a>b. 而当a>b时，a，b取值的情况有(1，0)， (2，0)，(2，1)， (3，0)，(3，1)，(3，2)，即A包含的基本事件数为6，所以方程恰有两个不相等实根的概率P(A)==.

(2)设事件B为“方程有实根”．当a≥0，b≥0时，方程有实根需满足a≥b．试验的全部结束所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．构成事件B的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}（如下图所示的阴影部分）.

因此所求的概率为P(B)＝．