题目内容
16．已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．（1）证明{an+$\frac{1}{2}$}是等比数列；
（2）令bn=log3（2an-1），求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和Sn；
（3）证明：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．
分析 （1）通过对an+1=3an+1变形可知an+1+$\frac{1}{2}$=3（an+$\frac{1}{2}$），进而可知数列{an+$\frac{1}{2}$}是以$\frac{3}{2}$为首项、3为公比的等比数列；
（2）通过（1）可知an+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$•3n，从而bn=n，并项相加即得结论；
（3）通过（1）可知an+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$•3n，进而$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{{3}^{n}-1}$，利用放缩法可知当n≥2时$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，利用等比数列的求和公式计算即得结论．
解答 （1）证明：∵an+1=3an+1，
∴an+1+$\frac{1}{2}$=3（an+$\frac{1}{2}$），
又∵a1+$\frac{1}{2}$=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴数列{an+$\frac{1}{2}$}是以$\frac{3}{2}$为首项、3为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可知an+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$•3n-1=$\frac{1}{2}$•3n，
∴bn=log3（2an-1）
=log33n
=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴Sn=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$；
（3）证明：由（1）可知an+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$•3n-1=$\frac{1}{2}$•3n，
∴an=$\frac{1}{2}$•3n-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{{3}^{n}-1}$，
当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{{3}^{n}-1}$＜$\frac{2}{{3}^{n}-{3}^{n-1}}$=$\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
∴当n=1时，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1＜$\frac{3}{2}$，成立；
当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$
=$\frac{3}{2}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）
＜$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．
点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．
| A． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | B． | $\sqrt{5}$ | C． | 2$\sqrt{5}$ | D． | 3$\sqrt{5}$ |
| A． | 3$\sqrt{6}$ | B． | 3$\sqrt{2}$ | C． | 2$\sqrt{3}$ | D． | 2$\sqrt{2}$ |
| A． | A∪B是必然事件 | B． | $\overline{A}$∩$\overline{B}$是必然事件 | ||
| C． | $\overline{A}$与$\overline{B}$一定不互斥 | D． | $\overline{A}$与$\overline{B}$可能互斥，也可能不互斥 |