题目内容
(本小题满分13分)
给定椭圆
＞
＞0
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆
的“准圆”
。若椭圆的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
的距离为
。
（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（2）点
是椭圆的“准圆”上的一个动点，过点作直线
，使得与椭圆都只有一个交点。求证：
⊥
.
给定椭圆
＞＞0，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为。（1）求椭圆
的方程和其“准圆”方程；（2）点
是椭圆的“准圆”上的一个动点，过点作直线，使得与椭圆都只有一个交点。求证：⊥.解：（1）因为
，所以
2分
所以椭圆的方程为
， 准圆的方程为
. 4分
（2）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为
或
，
当方程为时，此时与准圆交于点
此时经过点
（或
且与椭圆只有一个公共点的直线是
(或
，即
为(或，显然直线垂直；
同理可证方程为时，直线垂直. 7分
②当都有斜率时，设点
其中
，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
，
则
，消去
得到
，
即
，
，
经过化简得到：
， 9分
因为，所以有
，
设的斜率分别为
，因为与椭圆都只有一个公共点，
所以满足上述方程，
所以
，即垂直. 13分
，所以 2分所以椭圆的方程为
， 准圆的方程为. 4分（2）①当
中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为
与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当
方程为时，此时与准圆交于点此时经过点
（或且与椭圆只有一个公共点的直线是(或，即为(或，显然直线垂直；同理可证
方程为时，直线垂直. 7分②当
都有斜率时，设点其中，设经过点
与椭圆只有一个公共点的直线为，则
，消去得到，即
，，经过化简得到：
， 9分因为
，所以有，设
的斜率分别为，因为与椭圆都只有一个公共点，所以
满足上述方程，所以
，即垂直. 13分略
练习册系列答案
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：
(
),其左、右焦点分别为
、
，且
、
、
成等比数列．
、
，求证：
;
为椭圆
上的任意一点，是否存在过点
、
，使
轴的交点
满足
？若存在，求直线
；若不存在，请说明理由．
的圆心为
，半径为
，圆
： 
有一个公共点
(3,1)，
分别是椭圆的左、右焦点．
与圆
过点
，其左、右焦点分别为
，离心率
，
是椭圆右准线上的两个动点，且
．
的最小值；
是否过定点？
+
=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B、D，四边形DAMB是矩形（O为坐标原点）
，点E、P分别是线段OA、AM的中点。
，求证：直线RS过定点，并求出此定点的坐标。
的离心率为
的最小值为
表示焦点在x轴上的椭圆，则
满足的条件是（ ）
，且
轴上，离心率为
的椭圆；以椭圆的顶点为顶点构成的四边形的面积为4．
，直线MA交椭圆于P，求
的取值范围．