Question

14．设x，y，z，a，b，c，r＞0，证明：$\frac{x+y+a+b}{x+y+a+b+c+r}$+$\frac{y+z+b+c}{y+z+a+b+c+r}$＞$\frac{x+z+a+c}{x+z+a+b+c+r}$．

Answer 1

分析 由真分数的性质：$\frac{a+c}{b+c}$＞$\frac{a}{b}$（0＜a＜b），运用累加法和不等式的性质，即可得证．

解答 证明：由真分数的性质：$\frac{a+c}{b+c}$＞$\frac{a}{b}$（0＜a＜b），
可得$\frac{x+y+a+b}{x+y+a+b+c+r}$＞$\frac{x+a}{x+a+c+r}$，
$\frac{y+z+b+c}{y+z+a+b+c+r}$＞$\frac{z+c}{z+c+a+r}$，
即有$\frac{x+y+a+b}{x+y+a+b+c+r}$+$\frac{y+z+b+c}{y+z+a+b+c+r}$＞$\frac{x+a}{x+a+c+r}$+$\frac{z+c}{z+c+a+r}$
＞$\frac{x+a}{x+z+a+b+c+r}$+$\frac{z+c}{x+z+a+b+c+r}$=$\frac{x+z+a+c}{x+z+a+b+c+r}$．
故原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用放缩法证明，以及不等式的性质，属于中档题．