题目内容
4.若x2+y2-2x-3=0,则$\frac{y-2}{x}$的取值范围是[0,$\frac{4}{3}$],2x2+y2的取值范围是[$\frac{5}{3}$,7].分析 (法一):设k=$\frac{y-2}{x}$,则y=kx+2,代入x2+y2-2x-3=0,利用△=(4k-2)2-4(1+k2)=12k2-16k≥0,求出k的范围,可得$\frac{y-2}{x}$的取值范围;
(法二):利用参数法,结合配方法,即可求出2x2+y2的取值范围.
解答 解:(法一):设k=$\frac{y-2}{x}$,则y=kx+2,代入x2+y2-2x-3=0,
可得(1+k2)x2+(4k-2)x+1=0,
∴△=(4k-2)2-4(1+k2)=12k2-16k≥0,
∴0≤k≤$\frac{4}{3}$,
∴$\frac{y-2}{x}$的取值范围是[0,$\frac{4}{3}$];
(法二):x2+y2-2x-3=0可化为(x-1)2+y2=4,
设x=1+2cosα,y=sinα,
则2x2+y2=2(1+2cosα)2+(sinα)2=3(cosα+$\frac{1}{3}$)2+$\frac{5}{3}$∈[$\frac{5}{3}$,7].
故答案为:[0,$\frac{4}{3}$];[$\frac{5}{3}$,7].
点评 本题考查直线与圆的位置关系的运用,考查圆的参数方程,考查学生的计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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