题目内容
17．在区域D：$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$内任取一点P（x，y），该点满足不等式y≤x2的概率为a，则二项式（$\frac{x}{a}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）5的展开式中x2的系数为270．分析 由题意利用定积分的几何意义求得a的值，二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求得r的值，可得展开式中x2的系数．
解答 解：D=2×1=2，s=${∫}_{-1}^{1}$x2dx=$\frac{1}{3}$x3${|}_{-1}^{1}$=$\frac{2}{3}$，a=$\frac{s}{D}$=$\frac{\frac{2}{3}}{2}$=$\frac{1}{3}$，
故二项式（$\frac{x}{a}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）5=（3x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）5的通项公式为Tr+1=${C}_{5}^{r}$•（-1）r•35-r•${x}^{5-\frac{3}{2}r}$，
令5-$\frac{3r}{2}$=2，求得r=2，故二项式（$\frac{x}{a}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）5的展开式中x2的系数为${C}_{5}^{2}$•33=270，
故答案为：270．
点评 本题主要考查定积分的几何意义，二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
练习册系列答案
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8．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}5-{log_3}（1-x），x＜1\\{3^x}-2，x≥1\end{array}\right.$，则满足f（x）≥7的x的取值范围是（ ）
| A． | [$\frac{8}{9}$，1） | B． | [$\frac{8}{9}$，+∞） | C． | [2，+∞） | D． | [$\frac{8}{9}$，1）∪[2，+∞） |
2．若点P（x，y）在函数y=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\sqrt{-x}$的图象上，则点P在平面直角坐标系中的（ ）
| A． | 第一象限 | B． | 第二象限 | C． | 第三象限 | D． | 第四象限 |
9．函数y=sin（-2x+$\frac{π}{6}$）的单调递增区间是（ ）
| A． | [-$\frac{π}{6}$+2kπ，$\frac{π}{3}$+2kπ]（k∈Z） | B． | $[\frac{π}{3}+2kπ，\frac{5π}{6}+2kπ]（k∈Z）$ | ||
| C． | [-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]（k∈Z） | D． | $[\frac{π}{3}+kπ，\frac{5π}{6}+kπ]（k∈Z）$ |