题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,
底面ABC,
,
,D,E分别是
,
的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)线段上是否存在点F,使
平面
?若存在,求
的值:若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在点F,使
平面
,而过
.
【解析】
(Ⅰ)建立空间直角坐标系,用向量证明垂直;
(Ⅱ)求出两平面的法向量,由法向量夹角得二面角;
(Ⅲ)假设存在,设,即
,由此求出
,由
与平面
的法向量垂直可得.
(Ⅰ)由于底面ABC,
,以
为
轴建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,所以
,
,即
;
(Ⅱ)由(Ⅰ),设平面
的一个法向量为
,
则,以
,则
,
,
设平面一个法向量是
,
,
则,取
,则
,
,
.
所以二面角的大小为
;
(Ⅲ)假设存在点F,使平面
,设
,即
,
,又
,所以
,
由,得
.
所以存在点F,使平面
,而过
.
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