题目内容

（2012•济南二模）一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生：
（1）得60分的概率；
（2）所得分数ξ的分布列和数学期望．
分析：（1）设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A，“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B，“有一道题不理解题意”选对的为事件C，由P（A）=
1
2
，P（B）=
1
3
，P（C）=
1
4
，能求出得60分的概率．
（2）ξ可能的取值为40，45，50，55，60，分别求出P（ξ=40），P（ξ=45），P（ξ=50），P（ξ=55）和P（ξ=60），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
解答：解：（1）设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A，
“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B，
“有一道题不理解题意”选对的为事件C，
∴P（A）=
1
2
，P（B）=
1
3
，P（C）=
1
4
，
∴得60分的概率为p=
1
2
×
1
2
×
1
3
×
1
4
=
1
48
．…（4分）
（2）ξ可能的取值为40，45，50，55，60…（5分）
P（ξ=40）=
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
=
1
8
；…（6分）
P（ξ=45）=C12×
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
+
1
2
×
1
2
×
1
3
×
3
4
+
1
2
×
1
2
×
2
3
×
1
4
=
17
48

…（7分）
P（ξ=50）=
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
+C12×
1
2
×
1
2
×
1
3
×
3
4
+C12×
1
2
×
1
2
×
2
3
×
1
4
+
1
2
×
1
2
×
1
3
×
1
4
=
17
48
；…（8分）
P（ξ=55）=C12×
1
2
×
1
2
×
1
3
×
1
4
+
1
2
×
1
2
×
2
3
×
1
4
+
1
2
×
1
2
×
1
3
×
3
4
=
7
48
…（9分）
P（ξ=60）=
1
2
×
1
2
×
1
3
×
1
4
=
1
48
=
1
2
×
1
2
×
1
3
×
1
4
=
1
48
，
∴ξ的分布列：
ξ 40 45 50 55 60
P（ξ）
1
8
17
48
17
48
7
48
1
48
…（10分）
Eξ=40×
6
48
+（45+50）×
17
48
+55×
7
48
+60×
1
48
=
575
12
…（12分）
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．
练习册系列答案
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