Question

（2006•静安区二模）在△ABC中，已知

|BC|

=30，外接圆的半径R=17．
（1）求∠A的大小；（用反三角函数值表示）
（2）若

AB

•

AC

=112，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理列出关系式，将a与2R代入求出sinA的值，利用反函数定义即可求出A的度数；
（2）利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，求出bc的值，再由余弦定理列出关系式，化简求出b+c的值，由a+b+c即可求出三角形的周长．

解答：解：（1）设|

BC

|=a，|

AC

|=b，|

AB

|=c，由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，得sinA=

a

2R

=

30

34

=

15

17

，
∴∠A=arcsin

15

17

或π-arcsin

15

17

；
（2）由

AB

•

AC

=112，得c•bcosA=112＞0，
∴∠A为锐角，cosA=

8

17

，即b•c=14×17，
再由余弦定理cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b+c)2-2×14×17-900

2×14×17

，得b+c=40，
则△ABC的周长为40+30=70．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．