题目内容
7．各项均为正数的等比数列{an}，a1=1，a2a4=16，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=$\frac{3{n}^{2}+n}{2}（n∈{N}^{+}）$．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若cn=an+（-1）nbn，求数列{cn}的前n项和Un；
（3）令dn=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$（n∈N+），数列{dn}的前n项和为Tn，若Tn≥t2+t恒成立，求t的取值范围．
分析 （1）设正数的等比数列{an}的公比为q＞0，利用等比数列的通项公式可得an．由Sn=$\frac{3{n}^{2}+n}{2}（n∈{N}^{+}）$，利用递推关系可得bn．
（2）cn=an+（-1）nbn=2n-1+（-1）n（3n-1）．对n分类讨论即可得出．
（3）dn=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{3n-1}{{2}^{n-1}}$，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得Tn．由Tn≥t2+t恒成立，转化为（Tn）min≥t2+t恒成立，解出即可．
解答 解：（1）设正数的等比数列{an}的公比为q＞0，∵a1=1，a2a4=16，
∴q4=16，解得q=2．
∴an=2n-1．
∵Sn=$\frac{3{n}^{2}+n}{2}（n∈{N}^{+}）$，
∴n=1时，b1=2．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=$\frac{3{n}^{2}+n}{2}$-$\frac{3（n-1）^{2}+（n-1）}{2}$=3n-1．当n=1时上式也成立，
∴bn=3n-1．
（2）cn=an+（-1）nbn=2n-1+（-1）n（3n-1）．
∴当n为偶数时，Un=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+（-2+5）+（-8+11）+…+[-（3n-4）+（3n-1）]=2n-1+$\frac{3n}{2}$．
当n为奇数时，Un=Un-1+cn=${2}^{n-1}-1+\frac{3（n-1）}{2}$+2n-1-（3n-1）=2n-$\frac{3n+3}{2}$．
∴Un=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}-\frac{3n+3}{2}，n为奇数}\\{{2}^{n}-1+\frac{3n}{2}，n为偶数}\end{array}\right.$．
（3）dn=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{3n-1}{{2}^{n-1}}$，∴数列{dn}的前n项和为Tn=2+$\frac{5}{2}$+$\frac{8}{{2}^{2}}$+…+$\frac{3n-1}{{2}^{n-1}}$，$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+$\frac{5}{{2}^{2}}+\frac{8}{{2}^{3}}$+…+$\frac{3n-4}{{2}^{n-1}}$+$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=2+$3（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}）$-$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$=2+3×$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{3n-1}{{2}^{n}}$=5-$\frac{3n+5}{{2}^{n}}$．
∴Tn=10-$\frac{3n+5}{{2}^{n-1}}$．
又$\frac{3n+5}{{2}^{n-1}}$-$\frac{3n+8}{{2}^{n}}$=$\frac{3n+2}{{2}^{n}}$．
∴数列$\{\frac{3n+5}{{2}^{n-1}}\}$单调递减．
∴Tn的最小值为2．
∵Tn≥t2+t恒成立，
∴（Tn）min≥t2+t恒成立，
∴t2+t-2≤0，
解得-2≤t≤1．
∴t的取值范围是-2≤t≤1．
点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
根据流程图，若函数g（x）=f（x）-m在R上有且只有两个零点，则实数m的取值范围是（-∞，0）∪（1，4）．| A． | 1 | B． | $\sqrt{2}$ | C． | 2 | D． | 2$\sqrt{2}$ |