Question

20．已知函数f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=-$\frac{1}{x}$+1
（1）当x＜0时，求函数f（x）的解析式；
（2）证明函数f（x）在区间（-∞，0）上是单调增函数．

Answer 1

分析 （1）令x＜0，则-x＞0，由x＞0时，f（x）=-$\frac{1}{x}$+1，可得f（-x）的表达式，进而根据f（x）为奇函数，f（x）=-f（-x），可得答案；
（2）x₁＜x₂＜0，判断f（x₁），f（x₂）的大小，结合函数单调性的定义，可得答案．

解答 解：（1）设设x＜0，则-x＞0，
f（x）=-f（-x）=-$\frac{1}{x}$-1；…（7分）
（2）设x₁＜x₂＜0，
则x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=（-$\frac{1}{{x}_{1}}$-1）-（-$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）=$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{{x}_{1}•x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在区间（-∞，0）上是单调增函数．  …（14分）

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的简单综合应用．