Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC且AB⊥BC，

（Ⅰ）求证：AC⊥A1B；

（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】(1) 见解析(2)

【解析】试题分析：（Ⅰ）作AC的中点O，由A1A=A1C，且O为AC的中点，得A1O⊥AC，再由面面垂直的性质可得A1O⊥底面ABC，以O为坐标原点，OB、OC、OA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，由=0，可得AC⊥A1B；

（Ⅱ）求出平面AA1C与平面A1CB的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1C﹣B的余弦值．

试题解析：

（Ⅰ）证明：作AC的中点O，∵A1A=A1C，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC，

又侧面AA1C1C⊥底面ABC，其交线为AC，且A1O平面AA1C1C，

∴A1O⊥底面ABC，

以O为坐标原点，OB、OC、OA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

由已知得：O（0，0，0），A（0，﹣1，0），A1（0，0，），C（0，1，0），C1（0，2，），B（1，0，0）．

则有：，，

∵=0，∴AC⊥A1B；

（Ⅱ）解：平面AA1C的一个法向量为．

设平面A1CB的一个法向量，

由，取z=1，得．

∴cos＜＞=．

∴二面角A﹣A1C﹣B的余弦值为．