Question

【题目】如果函数f（x）=sin（2x+θ），函数f（x）+f'（x）为奇函数，f'（x）是f（x）的导函数，则tanθ= ．

Answer 1

【答案】-2
【解析】解：∵f（x）=sin（2x+θ），∴f′（x）=2cos（2x+θ）， 则f（x）+f'（x）=sin（2x+θ）+2cos（2x+θ），
∵f（x）+f'（x）为奇函数，
∴sin（﹣2x+θ）+2cos（﹣2x+θ）=﹣sin（2x+θ）﹣2cos（2x+θ），
即﹣sin（2x﹣θ）+2cos（2x﹣θ）=﹣sin（2x+θ）+2cos（2x+θ），
则﹣sin2xcosθ+cos2xsinθ+2cos2xcosθ+2sin2xsinθ
=﹣（sin2xcosθ+cos2xsinθ+2cos2xcosθ﹣sin2xsinθ）
=﹣sin2xcosθ﹣cos2xsinθ﹣2cos2xcosθ+2sin2xsinθ，
即2cos2xsinθ=﹣4cos2xcosθ，
即sinθ=﹣2cosθ，
即tanθ=﹣2，
所以答案是：﹣2
【考点精析】通过灵活运用基本求导法则和正弦函数的奇偶性，掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；正弦函数为奇函数即可以解答此题．