题目内容
【题目】已知椭圆:
(
)的离心率为
,以原点
为圆心,椭圆
的长半轴长为半径的圆与直线
相切.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知点为动直线
与椭圆
的两个交点,问:在
轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在,试求出点
的坐标和定值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(1)由,以原点
为圆心,椭圆
的长半轴为半径与直线
相切,求出
的值,由此可求出椭圆的方程;
(2)由得
,由此利用韦达定理、向量的数量积,结合已知条件能求出在
轴上存在点
,使
为定值,定点为
。
试题解析:(Ⅰ)由,得
,即
,①
又以原点为圆心,椭圆
的长半轴长为半径的圆为
,
且圆与直线
相切,
所以,代入①得
,
则.
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)由得
,且
设,则
,
根据题意,假设轴上存在定点
,使得
为定值,则有
要使上式为定值,即与无关,则应
,
即,此时
为定值,定点为
.
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