题目内容

已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则（　　）
A、a2=
13
2
B、a2=3
C、b2=
1
2
D、b2=2
分析：先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程a2-b2=5；设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：x2=
a2b2
b2+4a2
；对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2
5
x，根据C1恰好将线段AB三等分得：2
5
x=
2a
3
，从而可解出a2，b2的值，故可得结论．
解答：解：由题意，C2的焦点为（±
5
，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a
∴C1的半焦距c=
5
，于是得a2-b2=5   ①
设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：x2=
a2b2
b2+4a2
②，
由对称性知直线y=2x被C1截得的弦长=2
5
x，
由题得：2
5
x=
2a
3
，所以x=
a
3
5
    ③
由②③得a2=11b2  ④
由①④得a2=5.5，b2=0.5  
故选C
点评：本题以椭圆，双曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题思路清晰，但计算有点烦琐，需要小心谨慎．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=
5
3
．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
①当直线BD过点（0，
1
7
）时，求直线AC的方程；
②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
精英家教网已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一条准线方程是x=
25
4
，其左、右顶点分别是A、B；双曲线C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为3x-5y=0．
（1）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
（2）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连接AP交椭圆C1于点M，连接PB并延长交椭圆C1于点N，若
AM
=
MP
．求
MN
•
AB
的值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，直线l：y=x+2
2
与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程．
（Ⅱ）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2-
y2
4
=1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b2=
0.5
0.5
．
（2013•汕头一模）已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，离心率e=
1
2

（1）设抛物线C2：y2=4x的准线与x轴交于F1，求椭圆的方程；
（2）设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，b是双曲线C3在第一象限上任意-点，问是否存在常数λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网