Question

15．已知cosα=$\frac{1}{7}$，cos（α-β）=$\frac{13}{14}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，
（1）求$sin（α+\frac{π}{4}）$和tan2α的值．
（Ⅱ）求β．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sin（α-β）、tanα的值，再利用两角和差的三角公式、二倍角公式求得$sin（α+\frac{π}{4}）$和tan2α的值．
（Ⅱ）由条件利用cosβ=cos[α-（α-β）]以及两角差余弦角公式，计算求的结果．

解答 解：（1）∵cosα=$\frac{1}{7}$，cos（α-β）=$\frac{13}{14}$，且0＜β＜α＜$\frac{π}{2}$，∴sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，sin（α-β）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-β）}$=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=4$\sqrt{3}$，
$sin（α+\frac{π}{4}）$=sinαcos$\frac{π}{4}$+cosαsin$\frac{π}{4}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{7}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{4\sqrt{6}+\sqrt{2}}{14}$，
tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=-$\frac{8\sqrt{3}}{47}$．
（Ⅱ）cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=$\frac{1}{7}×\frac{13}{14}$+$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{3\sqrt{3}}{14}$=$\frac{1}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{2}$，
故β=$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，属于基础题．