Question

11．已知直线m：2x-y-3=0，n：x+y-3=0．
（1）求过两直线m，n交点且与直线l：x+2y-1=0平行的直线方程；
（2）求过两直线m，n交点且与两坐标轴围成面积为4的直线方程．

Answer 1

分析 （1）求过两直线m，n交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线l：x+2y-1=0平行的直线方程；
（2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3=0}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
即两直线m，n交点坐标为（2，1），
设与直线l：x+2y-1=0平行的直线方程方程为x+2y+c=0，
则2+2×1+c=0，解得c=-4，
则对应的直线方程为x+2y-4=0；
（2）设过（2，1）的直线斜率为k，（k≠0），
则对应的直线方程为y-1=k（x-2），
令x=0，y=1-2k，即与y轴的交点坐标为A（0，1-2k）
令y=0，则x=2-$\frac{1}{k}$=$\frac{2k-1}{k}$，即与x轴的交点坐标为B（$\frac{2k-1}{k}$，0），
则△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$×|$\frac{2k-1}{k}$||1-2k|=4，
即（2k-1）²=8|k|，
即4k²-4k-8|k|+1=0，
若k＞0，则方程等价为4k²-12k+1=0，
解得k=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$或k=$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$，
若k＜0，则方程等价为4k²+4k+1=0，
解得k=$-\frac{1}{2}$，
综上直线的方程为y-1=$-\frac{1}{2}$（x-2），或y-1=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$（x-2），
或y-1=$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$（x-2），
即y=$-\frac{1}{2}$x+2，或y=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$x-2-2$\sqrt{2}$，或y=$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$x+2$\sqrt{2}$-2．

点评 本题考查两条直线的交点坐标，直线的方程的求法，考查计算能力，运算量较大．