题目内容
【题目】设函数(
).
(1)试讨论函数的单调性;
(2)设,记
,当
时,若函数
与函数
有两个不同交点
,
,设线段的中点为
,试问s是否为
的根?说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)s不是的根,理由见解析
【解析】
(1)求解函数的导函数,分类讨论可得:①若时,当
时,函数
单调递减,当
时,函数
单调递增; ②若
时,函数
单调递增; ③若
时,当
时,函数
单调递减,当
时,函数
单调递增.
(2)构造新函数,
求解导函数可得
,欲证
,故只需证明.
, 由于
,
是方程
的两个不相等的实根,不妨设为
,代入方程化简可得
,故只需证明
,化简为
,构造
,
,通过求导可知
在
单调递增.又
,因此
即可证明
不成立.
(1)由,可知
.
因为函数的定义域为
,所以,
①若时,当
时,
,函数
单调递减,
当时,
,函数
单调递增;
②若时,当
在
内恒成立,函数
单调递增;
③若时,当
时,
,函数
单调递减,当
时,
,函数
单调递增.
(2)证明:由题可知(
),
所以
所以当时,
;当
时,
;当
时,
欲证,故只需证明.
设,
是方程
的两个不相等的实根,不妨设为
,
则
两式相减并整理得,
从而,
故只需证明(*)
即.所以(*)式可化为
,即
因为,所以
,不妨令
,即证
,
成立.
记,
,所以
,当且仅当
时,等号成立,
因此在
单调递增.又
,因此
,
,故
,
,即
不成立.
故s不是的根得证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】新型冠状病毒属于属的冠状病毒,人群普遍易感,病毒感染者一般有发热咳嗽等临床表现,现阶段也出现无症状感染者.基于目前的流行病学调查和研究结果,病毒潜伏期一般为1-14天,大多数为3-7天.为及时有效遏制病毒扩散和蔓延,减少新型冠状病毒感染对公众健康造成的危害,需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行检查.某地区对与确诊患者有接触史的1000名人员进行检查,检查结果统计如下:
发热且咳嗽 | 发热不咳嗽 | 咳嗽不发热 | 不发热也不咳嗽 | |
确诊患病 | 200 | 150 | 80 | 30 |
确诊未患病 | 150 | 150 | 120 | 120 |
(1)能否在犯错率不超过0.001的情况下,认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关.
临界值表:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.645 | 7.879 | 10.828 |
(2)在全国人民的共同努力下,尤其是全体医护人员的辛勤付出下,我国的疫情得到较好控制,现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状感染者(即无相关临床表现但核酸检测或血清特异性免疫球蛋白M抗体检测阳者).根据防控要求,无症状感染者虽然还没有最终确诊患2019新冠肺炎,但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医学观察14天,已知某人曾与无症状感染者密切接触,而且在家已经居家隔离10天未有临床症状,若该人员居家隔离第天出现临床症状的概率为
,
,两天之间是否出现临床症状互不影响,而且一旦出现临床症状立刻送往医院核酸检查并采取必要治疗,若14天内未出现临床症状则可以解除居家隔离,求该人员在家隔离的天数(含有临床症状表现的当天)
的分布列以及数学期望值.(保留小数点后两位)