题目内容
【题目】如图,已知平行四边形中,
,
,
为边
的中点,将
沿直线
翻折成
.若
为线段
的中点.
(1)证明平面
,并求
的长;
(2)在翻折过程中,当三棱锥的体积取最大时,求平面
与平面
所成的二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)取的中点
,连接
,证明四边形
为平行四边形即可.
(2)易得当三棱锥的体积取最大时,面
面
,再以
为坐标原点建立空间直角坐标系,再分别求出面
与面
的法向量,进而求得平面
与平面
所成的二面角的余弦值即可.
(1) 取的中点
,连接
,因为
为线段
的中点,故
为
的中位线,故
.又平行四边形
中,
为边
的中点,故
,故
.故四边形
为平行四边形,故
.又
平面
,
平面
,故
平面
.
(2)因为为线段
的中点,故
,故当三棱锥
的体积取最大时三棱锥
的体积取最大.故此时面
面
.
因为,
.故
边长是2的正三角形.
,
故
,解得
.故
,故
.故以
为原点建立如图空间直角坐标系.
则平面的一个法向量为
.
,
,
.故
,
.
设平面的一个法向量为
,则因为
,即
,
取有
,
.故
.
设平面与平面
所成的二面角为
,则
.
故平面与平面
所成的二面角的余弦值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】今年,新型冠状病毒来势凶猛,老百姓一时间“谈毒色变”,近来,有关喝白酒可以预防病毒的说法一直在民间流传,更有人拿出“医”字的繁体字“醫”进行解读为:医治瘟疫要喝酒,为了调查喝白酒是否有助于预防病毒,我们调查了1000人的喝酒生活习惯与最终是否得病进行了统计,表格如下:
每周喝酒量(两) | |||||
人数 | 100 | 300 | 450 | 100 |
规定:①每周喝酒量达到4两的叫常喝酒人,反之叫不常喝酒人;
②每周喝酒量达到8两的叫有酒瘾的人.
(1)求值,从每周喝酒量达到6两的人中按照分层抽样选出6人,再从这6人中选出2人,求这2人中无有酒瘾的人的概率;
(2)请通过上述表格中的统计数据,填写完下面的列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为是否得病与是否常喝酒有关?并对民间流传的说法做出你的判断.
常喝酒 | 不常喝酒 | 合计 | |
得病 | |||
不得病 | 250 | 650 | |
合计 |
参考公式:,其中
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |