题目内容
【题目】某水域受到污染，水务部门决定往水中投放一种药剂来净化水质，已知每次投放质量为
的药剂后，经过
（
）天，该药剂在水中释放的浓度
（毫克
升）为
，其中
，当药剂在水中释放浓度不低于
（毫克升）时称为有效净化，当药剂在水中释放的浓度不低于（毫克升）且不高于
（毫克升）时称为最佳净化.
（1）如果投放的药剂质量为
，那么该水域达到有效净化一共可持续几天？
（2）如果投放的药剂质量为，为了使该水域
天（从投放药剂算起，包括第天）之内都达到最佳净化，确定应该投放的药剂质量的值.
【答案】（1）
天；（2）
.
【解析】
（1）由
，且
，可得出药剂在水中释放浓度
的函数，因为函数为分段函数，分
和
解不等式
，即可得出水域达到有效净化所持续的天数；
（2）求出关于
的解析式，分区间讨论该函数的单调性，根据题意，只需函数在区间
和
上的值域均为
的子集，由此列出不等式（组）解出实数
的值.
（1）
，
.
当时，
恒成立；当时，令
，解得
.
所以，不等式的解为
，因此，该水域达到有效净化一共可持续天；
（2）由题意知，
，且
.
当时，
为增函数，且
，由题意可得
，
则有
，解得
；
当
时，
为减函数，且
，由题意可得
，
则
，解得
.
综上所述，.
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