题目内容
【题目】某商店商品每件成本10元，若售价为25元，则每天能卖出288件，经调查，如果降低价格，销售量可以增加，且每天多卖出的商品件数t与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤15）的关系是t=6x2 ．
（1）将每天的商品销售利润y表示成x的函数；
（2）如何定价才能使每天的商品销售利润最大？
【答案】
（1）解：设商品降价x元，记商品每天的获利为f（x），则依题意得
f（x）=（25﹣10﹣x）（288+6x2）=（15﹣x）（288+6x2）=﹣6x3+90x2﹣288x+4320（0≤x≤15）
（2）解：根据（1），有f′（x）=﹣18x2+180x﹣288=﹣18（x﹣2）（x﹣8）．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表：
x | [0，2） | 2 | （2，8） | 8 | （8，15] |
f′（x） | ﹣ | 0 | + | 0 | ﹣ |
f（x） | 单调递减 | 极小 | 单调递增 | 极大 | 单调递减 |
故x=8时，f（x）取得极大值．因为f（8）=4704，f（0）=4320，
所以定价为25﹣8=17元能使一天的商品销售利润最大
【解析】（1）根据题意列出函数关系式即可；（2）利用导数求函数的最大值即可解决．
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