Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+lnx+5，（0＜x≤1）}\\{x+\frac{9}{x+1}+m，（x＞1）}\end{array}\right.$的值域为R，则实数m的取值范围为（-∞，1]．

Answer 1

分析 f（x）为分段函数，需求出每段上f（x）的范围：0＜x≤1时，f（x）=x+lnx+5显然为增函数，从而得到f（x）≤6；而x＞1时，根据基本不等式便可得出$f（x）=x+\frac{9}{x+1}+m≥5+m$，并且可以说明等号可以取到，从而根据f（x）的值域为R便有5+m≤6，这样便可得出m的取值范围．

解答 解：①0＜x≤1时，f（x）=x+lnx+5为增函数；
∴f（x）≤f（1）=6；
②x＞1时，$f（x）=x+\frac{9}{x+1}+m=（x+1）+\frac{9}{x+1}+m$-1≥6+m-1=5+m，当$x+1=\frac{9}{x+1}$，即x=2时取“=”；
∵f（x）的值域为R；
∴5+m≤6；
∴m≤1；
∴实数m的取值范围为：（-∞，1]．
故答案为：（-∞，1]．

点评 考查函数值域的概念，以及分段函数值域的求法，根据函数单调性求值域的方法，根据基本不等式求值域，以及对数函数、一次函数的单调性．