题目内容
已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f(x)=
-1．
（1）求f（-1），f（0）的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明．
| 2 |
| x |
（1）求f（-1），f（0）的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明．
（1）∵函数f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）．
∵当x＞0时，函数的解析式为f(x)=
-1．
∴f（-1）=-f（1）=-（2-1）=-1．
（2）设0＜x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=
，
∵0＜x1＜x2，
∴x2-x1＞0，x1x2＞0，
∴f(x1)-f(x2)=
＞0，
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上的单调递减，是减函数．
∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）．
∵当x＞0时，函数的解析式为f(x)=
| 2 |
| x |
∴f（-1）=-f（1）=-（2-1）=-1．
（2）设0＜x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=
| 2(x2-x1) |
| x1x2 |
∵0＜x1＜x2，
∴x2-x1＞0，x1x2＞0，
∴f(x1)-f(x2)=
| 2(x2-x1) |
| x1x2 |
即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上的单调递减，是减函数．
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