Question

2．已知函数f（x）=lg$\sqrt{x+1}$，g（x）=lg（2x+t）（t为参数）．
（1）当函数g（x）在x∈[0，1]上恒有意义时，求实数t的取值范围；
（2）如果当x∈[0，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数的概念得出$\left\{\begin{array}{l}{t＞0}\\{2+t＞0}\end{array}\right.$求解即可．
（2）转化为：$\left\{\begin{array}{l}{t＞0}\\{\sqrt{x+1}≤2x+t}\end{array}\right.$设m=$\sqrt{x+1}$，x=m²-1，1$≤m≤\sqrt{2}$，构造函数y=-m²+m+2，1$≤m≤\sqrt{2}$转化为函数最值即可．

解答 解：∵g（x）=lg（2x+t）（t为参数）．
（1）函数g（x）在x∈[0，1]上恒有意义
∴$\left\{\begin{array}{l}{t＞0}\\{2+t＞0}\end{array}\right.$
即t＞0
故实数t的取值范围：t＞0
（2）∵函数f（x）=lg$\sqrt{x+1}$，g（x）=lg（2x+t）（t为参数）．
x∈[0，1]时，f（x）≤g（x）转化为：$\left\{\begin{array}{l}{t＞0}\\{\sqrt{x+1}≤2x+t}\end{array}\right.$
设m=$\sqrt{x+1}$，x=m²-1，1$≤m≤\sqrt{2}$
即可代入得出：-m²+m+2≤t
令y=-m²+m+2，1$≤m≤\sqrt{2}$
根据二次函数性质得出：$\sqrt{2}≤y≤2$
∴只需t≥2即可
故实数t的取值范围：t≥2．

点评 本题考察了函数不等式的运用，结合函数性质求解最值，解决不等式恒成立问题，关键构造函数，注意变量的范围．