Question

已知函数，点在函数的图象上，过P点的切线方程为.
（1）若在时有极值，求的解析式；
（2）在（1）的条件下是否存在实数m，使得不等式m在区间上恒成立，若存在，试求出m的最大值，若不存在，试说明理由。

Answer 1

解：（1）∵是方程的根,

又切线的斜率，即在时的值，

点P既在函数的图象上，又在切线上，
，解得
故
（2）在（1）的条件下，
由得函数的两个极值点是.
函数的两个极值为
函数在区间的两个端点值分别为.
比较极值与端点的函数值，知在区间上，函数的最小值为.
只需，不等式恒成立。此时的最大值为

略