Question

3．在数列{a_n}中，已知a₁=-20，a_n+1=a_n+4（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式和前n项和A_n；
（2）若b_n=$\frac{2}{{A}_{n}+24n}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项S_n．

Answer 1

分析 （1）根据条件判断数列为等差数列即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出数列{b_n}的通项公式，利用裂项法进行求和即可．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a_n+1=a_n+4（n∈N^*），
∴数列{a_n}是以公差为4，以a₁=-20为首项的等差数列．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=-20+4（n-1）=4n-24，（n∈N^*），
数列{a_n}的前n项和A_n=2n²-22n，（n∈N^*），
（2）∵b_n=$\frac{2}{{A}_{n}+24n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴前n项和公式S_n=1$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式以及数列求和的应用，利用裂项法是解决本题的关键．