Question

设函数f（x）=

1，1≤x≤2 x-1，2＜x≤3

，g（x）=f（x）-ax，x∈[1，3]，其中a∈R，记函数g（x）的最大值与最小值的差为h（a）．
（Ⅰ）求函数h（a）的解析式；
（Ⅱ）画出函数y=h（x）的图象并指出h（x）的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据题意先求出函数g（x）的解析式，再由一次函数的单调性和x的范围对a进程分类讨论，利用一次函数的单调性以及端点处的函数值，分别求出函数的最大值、最小值，再求出最大值与最小值的差为h（a），最后用分段函数的形式表示出来；
（Ⅱ）根据h（a）的解析式画出函数图象，由图求出h（x）的最小值．

解答： 解：（I）由题意得，g(x)=

1-ax，1≤x≤2 (1-a)x-1，2＜x≤3

，
（1）当a＜0时，函数g（x）是[1，3]增函数，
此时，g（x）_max=g（3）=2-3a，g（x）_min=g（1）=1-a，所以h（a）=1-2a；
（2）当a＞1时，函数g（x）是[1，3]减函数，此时，g（x）_min=g（3）=2-3a，g（x）_max=g（1）=1-a，所以h（a）=2a-1；
（3）当0≤a≤1时，若x∈[1，2]，则g（x）=1-ax，有g（2）≤g（x）≤g（1）；
若x∈[2，3]，则g（x）=（1-a）x-1，有g（2）≤g（x）≤g（3）；
因此，g（x）_min=g（2）=1-2a，而g（3）-g（1）=（2-3a）-（1-a）=1-2a，
故当0≤a≤

1

2

时，g（x）_max=g（3）=2-3a，有h（a）=1-a；
当

1

2

＜a≤1时，g（x）_max=g（1）=1-a，有h（a）=a；
综上所述：h(a)=

1-2a，a＜0 1-a，0≤a≤ 1 2 a， 1 2 ＜a≤1 2a-1，a＞1

．
（II）画出y=h（x）的图象，如右图．
数形结合，可得h(x)min=h(

1

2

)=

1

2

．

点评：本题考查分段函数的最值，以及函数的单调性与图象的应用，考查分类讨论思想、数形结合思想．