题目内容
如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，
(1)试证：A1、G、C三点共线；
(2)试证：A1C⊥平面BC1D；
(1)试证：A1、G、C三点共线；
(2)试证：A1C⊥平面BC1D；
（1）见解析（2）见解析
(1)
＝
＋
＋
＝＋
＋
，
可以证明：
＝
(＋＋)＝，
∴∥，即A1、G、C三点共线．
(2)设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∵＝a＋b＋c，
＝c－a，
∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，
∴⊥，即CA1⊥BC1，
同理可证：CA1⊥BD，因此A1C⊥平面BC1D.
＝＋＋＝＋＋，可以证明：
＝(＋＋)＝，∴
∥，即A1、G、C三点共线．(2)设
＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0，∵
＝a＋b＋c，＝c－a，∴
·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，∴
⊥，即CA1⊥BC1，同理可证：CA1⊥BD，因此A1C⊥平面BC1D.
练习册系列答案
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中，底面
是正方形，侧棱
⊥底面
，
是
的中点，作
交
于点
．
平面
；
平面
．
AB.
所在的平面和平面
互相垂直，等腰梯形
∥
，
=2，
，
，
，
分别为
的中点，
为底面
的重心.
∥平面
；
与平面
所成角的正弦值.
的值．
