题目内容
15.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC⊥平面ABCD.(Ⅰ)求证:AB⊥平面PBC;
(Ⅱ)求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小.
分析 (Ⅰ)证明AB⊥平面PBC,利用面面垂直的性质,根据AB⊥BC,平面PBC⊥平面ABCD,即可得证;
(Ⅱ)取BC的中点O,连接PO,以O为原点,OB所在的直线为x轴,在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴,OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O-xyz,求出平面ADP与平面BCP的法向量,利用向量的夹角公式,即可求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小.
解答 (Ⅰ)证明:因为∠ABC=90°,所以AB⊥BC,
因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,AB?平面ABCD,
所以AB⊥平面PBC.
(Ⅱ)解:如图,取BC的中点O,连接PO,
因为PB=PC,所以PO⊥BC.
因为PB=PC,所以PO⊥BC,
因为平面PBC⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.
以O为原点,OB所在的直线为x轴,在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴,OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O-xyz.
不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD得,$P(0,0,\sqrt{3}),D(-1,1,0),A(1,2,0)$,
所以$\overrightarrow{DP}=(1,-1,\sqrt{3}),\overrightarrow{DA}=(2,1,0)$,
设平面PAD的法向量为$\overrightarrow{m}$=(x,y,z).
所以$\left\{\begin{array}{l}x-y+\sqrt{3}z=0\\ 2x+y=0\end{array}\right.$.
令x=-1,则$y=2,z=\sqrt{3}$,所以$\overrightarrow{m}$=(-1,2,$\sqrt{3}$).
取平面BCP的一个法向量$\overrightarrow n=(0,1,0)$,
所以cos<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{n}$>=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为$\frac{π}{4}$.
点评 本题考查线面垂直,考查平面ADP与平面BCP所成的锐二面角,解题的关键是掌握线面垂直的判定方法,正确运用向量法,属于中档题.
A. | $\frac{g(2)}{2}$-g(1)≤3 | B. | $\frac{g(2)}{2}$-g(1)≥2 | C. | $\frac{g(2)}{2}$-g(1)<4 | D. | $\frac{g(2)}{2}$-g(1)≥4 |
A. | b2-4ac>0,a>0 | B. | b2-4ac>0 | C. | -$\frac{b}{2a}$>0 | D. | -$\frac{b}{2a}$<0 |
A. | (2,+∞) | B. | (-∞,-2)∪(0,2) | C. | (-2,0) | D. | (-∞,-2)∪(0,+∞) |