Question

19．求${（\frac{sinx+2}{cosx}）}^{2}$的最小值．

Answer 1

分析 令t=$\frac{sinx+2}{cosx}$，变形由辅助角公式和三角函数的值域可得t的不等式，解不等式可得t的范围，由二次函数可得．

解答 解：令t=$\frac{sinx+2}{cosx}$，可得tcosx-sinx=2，
由辅助角公式可得$\sqrt{{t}^{2}+1}$cos（x+φ）=2，其中tanφ=$\frac{1}{t}$，
∴由三角函数的值域可得$\sqrt{{t}^{2}+1}$≥2，解得t≥$\sqrt{3}$或t≤-$\sqrt{3}$，
∴${（\frac{sinx+2}{cosx}）}^{2}$=t²，t≥$\sqrt{3}$或t≤-$\sqrt{3}$，
由二次函数的知识可知当t=±$\sqrt{3}$时，上式取最小值3

点评 本题考查三角函数的最值，涉及二次函数的值域和三角函数辅助角公式，属中档题．