题目内容

定义在R上的函数f(x)满足:如果对任意x1,x2∈R,都有f(
x1+x2
2
)≤
1
2
[f(x1)+f(x2)]
,则称f(x)是R上凹函数.已知二次函数f(x)=ax2+x(a∈R,且a≠0).
(1)求证:当a>0时,函数f(x)的凹函数;
(2)如果x∈[0,1]时,|f(x)|≤1,试求a的取值范围.
分析:(1)利用函数f(x)的解析式,根据凹函数定义即可验证;
(2)由|f(x)|≤1表示出关于a的不等式,利用分离参数法,根据x的取值范围进行分析可得答案.
解答:(1)证明:∵二次函数f(x)=ax2+x
∴任取x1,x2∈R,则f(
x1+x2
2
)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]
=a(
x1+x2
2
2+
x1+x2
2
-
1
2
a
x
2
1
+x1
+a
x
2
2
+x2
)=-
1
2
a(x1-x2)2

∵a>0,(x1-x2)2≥0,∴
1
2
a(x1-x2)2≥0

f(
x1+x2
2
)-
1
2
[f(x1)+f(x2)]≤0

f(
x1+x2
2
)≤
1
2
[f(x1)+f(x2)]

∴当a>0时,函数f(x)的凹函数;
(2)解:由-1≤f(x)=ax2+x≤1,则有ax2≥-x-1且ax2≤-x+1.
(i)若x=0时,则a∈R恒成立,
(ii)若x∈(0,1]时,有 a≥-
1
x
-
1
x2
且a≤-
1
x
+
1
x2

∴a≥-
1
x
-
1
x2
=-(
1
x
+
1
2
2+
1
4
且a≤-
1
x
+
1
x2
=(
1
x
-
1
2
2-
1
4

∵0<x≤1,∴
1
x
≥1.
∴当
1
x
=1时,-(
1
x
+
1
2
2+
1
4
的最大值为-(1+
1
2
2+
1
4
=-2,(
1
x
-
1
2
2-
1
4
的最小值为(1-
1
2
2-
1
4
=0
∴-2≤a≤0;
又由a≠0,则a的范围是-2≤a<0;
综(i)(ii)知,-2≤a<0
点评:本题考查新定义--凹函数,考查学生对新定义的理解,考查恒成立问题,考查分离参数法的运用,属于中档题.
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