Question

6．已知求形如函数y=（f（x））^g（x）的导数的方法如下：先两边同取自然对数得：lny=g（x）lnf（x），再两边同时求导数得到：$\frac{1}{y}$•y′=g′（x）•lnf（x）+g（x）•$\frac{1}{f（x）}$•f′（x），于是得到y′=（f（x））^g（x）•（g′（x）•lnf（x）+g（x）•$\frac{1}{f（x）}•$f′（x））．运用此方法求得函数y=x${\;}^{\frac{1}{x}}$（x＞0）的极值情况是（　　）

• A． 极大值点为（e，e${\;}^{\frac{1}{e}}$）
• B． 极小值点为（e，e${\;}^{\frac{1}{e}}$）
• C． 极大值点为e
• D． 极小值点为e

Answer 1

分析 运用此方法求得函数导数，然后根据函数极值和导数之间的关系进行判断．

解答 解：根据求函数导数的方法得y′=${x}^{\frac{1}{x}}$•（ $\frac{-1}{{x}^{2}}$•lnx+$\frac{1}{x}$•$\frac{1}{x}$•1）=${x}^{\frac{1}{x}}$•$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0）
令y′＞0，得1-lnx＞0，解得0＜x＜e，此时函数单调递增
由y′＜0，解得x＞e，此时函数单调递减，
即当x=e时，函数y=x${\;}^{\frac{1}{x}}$（x＞0）取得极大值，
∴x=e是函数的极大值点，
故选：C．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值，根据求函数导数的方法，求出函数的导数是解决本题的关键．