Question

1．已知函数f（x）=Acos²（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图象在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=（　　）

• A． 0
• B． 100
• C． 150
• D． 200

Answer 1

分析 由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由图象在y轴上的截距为2求出φ的值，再利用函数的周期性求出所给式子的值．

解答 解：∵函数f（x）=Acos²（ωx+φ）+1=A•$\frac{1+cos（2ωx+2φ）}{2}$+1=$\frac{A}{2}$cos（2ωx+2φ）+$\frac{2+A}{2}$ 的最大值为3，
∴$\frac{A}{2}$+$\frac{2+A}{2}$=3，∴A=2．
f（x）的图象在y轴上的截距为2，可得cos2φ+2=2，即 cos2φ=0，
∴可取φ=$\frac{π}{4}$．
再根据它的图象相邻两对称轴间的距离为1，可得它的周期为$\frac{2π}{2ω}$=2，求得ω=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=cos（πx+$\frac{π}{2}$）+2=sinπx+2，
故f（1）=2，f（2）=2，f（3）=2，…，（100）=2，
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=200，
故选：D．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由图象在y轴上的截距为2求出φ的值，利用函数的周期性求式子的值，属于基础题．