题目内容

13.已知直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1(a、b是非零实数)与圆x2+y2=100有公共点,且交点为整点,这样的直线有60条.

分析 x2+y2=100,整点为(0,±10),(±6,±8),(±8,±6),(±10,0),共12个点,直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1(a,b为非零实数)与x,y轴不平行,不经过原点,任意两点连线有C122条,与x,y轴平行有14条,经过原点有6条,其中有两条既过原点又与x,y轴平行,共有C122+12-14-6+2=60条这样的直线.

解答 解:x2+y2=100,整点为(0,±10),(±6,±8),(±8,±6),(±10,0),
如图,共12个点,
直线$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1(a,b为非零实数),
∴直线与x,y轴不平行,不经过原点,
任意两点连线有C122条,
与x,y轴平行有14条,经过原点有6条,
其中有两条既过原点又与x,y轴平行,
∴共有C122+12-14-6+2=60.
故答案为:60.

点评 本题考查圆与圆锥曲线的综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化,恰当地借助数形结合进行求解.

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