题目内容

证明：（1）
n
k=0
2k
C
k
n
=3n（n∈N）；
（2）2C2n0+C2n1+2C2n2+C2n3+…+C2n2n-1+2C2n2n=3•22n-1（n∈N）；
（3）2＜(1+
1
n
)n＜3(n∈N)．
分析：（1）从右边开始分析，将3看成1+2，由二项式定理展开可得左式，即原等式可得证明；
（2）观察左式，可将左式转化为（C2n0+C2n1+C2n3+…+C2n2n）+（C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n），由二项式系数的性质，（C2n0+C2n1+C2n3+…+C2n2n）=22n，（C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n）=22n-1，相加可得右式，即原等式可得证明；
（3）由二项式定理，将（1+
1
n
）n展开可得1+
1
n
Cn1+
1
n2
Cn2+…
1
nn
+Cnn=1+1++
1
n2
Cn2+…
1
nn
+Cnn；分析可得：（1+
1
n
）n＞2；另一方面，用放缩法分析，，（1+
1
n
）n=1+1+
1
2!
n-1
n
+
1
3!
(n-1)(n-2)
n2
+…+
1
n!
•
1
nn-1
•（n-1）（n-2）…2•1＜1+1+
1
2!
+
1
3!
+…+
1
n!
＜1+1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
；整理可得右式的证明，综合可证得原不等式．
解答：证明：（1）右式=3n=（1+2）n=C2020+C2121+C2222+…+C2n2n=
n
n-1
2k
C
k
n
=左式；
故得证；
（2）左式=（C2n0+C2n1+C2n3+…+C2n2n）+（C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n）=22n+22n-1=3•22n-1=右式；
故得证；
（3）由二项式定理，（1+
1
n
）n=1+
1
n
Cn1+
1
n2
Cn2+…
1
nn
+Cnn=1+1+
1
n2
Cn2+…
1
nn
+Cnn；①
由①知，（1+
1
n
）n＞2；
另一方面，（1+
1
n
）n=1+1+
1
2!
n-1
n
+
1
3!
(n-1)(n-2)
n2
+…+
1
n!
•
1
nn-1
•（n-1）（n-2）…2•1
＜1+1+
1
2!
+
1
3!
+…+
1
n!
＜1+1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1

＜1+
1
1-
1
2
=3；
综合即2＜（1+
1
n
）n＜3．
点评：本题考查二项式定理的应用，涉及等式、不等式的证明；注意观察原等式或不等式的形式，结合二项式定理，进而对原题题干进行恒等变形，最终证明命题．
练习册系列答案
相关题目
（Ⅰ）设f（x）=（1+x）n，f（x）展开式中x2的系数是10，求n的值；
（Ⅱ）利用二项式定理证明：
n
k=1
(-1)k+1k
C
k
n
=0．
已知函数f（x）=lnx，g（x）=
3
2
-
a
x
（a为实常数）
（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[
1
2
，1]上有解，求实数a的取值范围；
（3）证明：
5
4
n+
1
60
＜
n
k=1
[2f(2k+1)-f(k)-f(k+1)]＜2n+1，n∈N*．（参考数据：ln2≈0.6931）
如果实数x，y，t满足|x-t|≤|y-t|，则称x比y接近t．
（Ⅰ）设a为实数，若a|a|比a更接近1，求a的取值范围；
（Ⅱ）f（x）=ln
x-1
x+1
，证明：
n
k=2
f(k)比
2-n-n2
2n(n+1)
更接近0（k∈Z）．
已知数列{an}中，a1=t，a2=t2（t＞0且t≠1）．若x=
t
是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一个极值点．
（Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记bn=2(1-
1
an
)，当t=2时，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＞2008的n的最小值；
（Ⅲ）当t=2时，求证：对于任意的正整数n，有 
n
k=1
2k
(ak+1)(ak+1+1)
＜
1
3
．
（2012•成都一模）已知函数f(x)=
1
2
x2-mln
1+2x
+mx-2m，m＜0．
（I）当m=-1时，求函数y=f(x)-
x
3
的单调区间；
（II）已知m≤-
e
2
（其中e是自然对数的底数），若存在实数x0∈(-
1
2
，
e-1
2
]，使f（x0）＞e+1成立，证明：2m+e+l＜0；
（III）证明：
n
k=1
8k-3
3k2
＞ln
(n+1)(n+2)
2
(n∈N*)．

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