Question

已知数列{a_n}中，a1=t，a2=t2（t＞0且t≠1）．若x=

t

是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一个极值点．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记bn=2(1-

1

an

)，当t=2时，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n＞2008的n的最小值；
（Ⅲ）当t=2时，求证：对于任意的正整数n，有 

n

k=1

2k

(ak+1)(ak+1+1)

＜

1

3

．

Answer 1

分析：（I）利用x=

t

是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一个极值点求出a_n与a_n+1的关系式，从而加以证明；
（II）解决关键在于运用等比数列的求和公式，再利用函数的单调性得出n的最小值．
（III）先将

1

(ak+1)(ak+1+1)

拆项并求和，通过观察与分析得出指数函数g（x）的表达式．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=3an-1x2-3[(t+1)an-an+1](n≥2)．
由题意f′(

t

)=0，即3an-1(

t

)2-3[(t+1)an-an+1](n≥2)，
∴a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）（n≥2），
∵t＞0且t≠1，∴数列{a_n+1-a_n}是以t²-t为首项，t为公比的等比数列，
∴a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1=（t-1）tⁿ
∴a₂-a₁=（t-1）t
a₃-a₂=（t-1）t²
…
a_n-a_n-1=（t-1）t^n-1
以上各式两边分别相加得an-a1=(t-1)(t+t2+…tn-1)，∴an=tn(n≥2)，
当n=1时，上式也成立，∴an=tn
（Ⅱ）当t=2时，bn=

2(2n-1)

2n

=2-

1

2n-1

∴S_n=2n-（1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）=2n-2(1-

1

2n

)=2n-2+2•

1

2n

．
由S_n＞2008，得2n-2+2(

1

2

)n＞2008，n+(

1

2

)n＞1005，
当n≤1004时，n+(

1

2

)n＜1005，
当n≥1005时，n+(

1

2

)n＞1005，
因此n的最小值为1005．
（Ⅲ）∵

2k

(ak+1)(ak+1+1)

=

2k

(2k+1)(2k+1+1)

=

1

2k+1

-

1

2k+1+1

∴

n

k=1

2k

(ak+1)(ak+1+1)

=(

1

2+1

-

1

22+1

)+(

1

22+1

-

1

23+1

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

点评：本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，以及数列与函数和不等式的综合应用，同时考查了计算能力，属于中档题．