Question

（Ⅰ）设f（x）=（1+x）ⁿ，f（x）展开式中x²的系数是10，求n的值；
（Ⅱ）利用二项式定理证明：

n

k=1

(-1)k+1k

C

k n

=0．

Answer 1

分析：（I）利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为2，列出方程求出n．
（II）利用二项式定理将（1-x）ⁿ展开，对等式求导，再对求导后的等式中的x赋值1得到待证等式．

解答：解（I）（1+x）ⁿ展开式中的x²的系数是C_n²=10，
即

n(n-1)

2

=10，得n=5
（II）由（1-x）ⁿ=C_n⁰-C_n¹x++（-1）²C_n¹x²+（-1）ⁿC_nⁿxⁿ
两边求导得-n（1-x）^n-1=-C_n¹+2C_n²x++（-1）^rkC_n^rx^n-r++（-1）ⁿnC_nⁿx^n-1
两边同时乘以-1，再令x=1得

n

n=1

(-1)k+1k

C

k n

=0．

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题、利用赋值法求展开式的系数和问题．