Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

3

2

-

a

x

（a为实常数）
（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）若方程e^2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[

1

2

，1]上有解，求实数a的取值范围；
（3）证明：

5

4

n+

1

60

＜

n

k=1

[2f(2k+1)-f(k)-f(k+1)]＜2n+1，n∈N*．（参考数据：ln2≈0.6931）

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=lnx，g（x）=

3

2

-

a

x

，我们易求出当a=1时，函数φ（x）的解析式及其导函数的解析式，利用导数法，判断出函数的单调性，即可得到当x=4时，φ（x）取最小值；
（2）方程e^2f（x）=g（x）在区间[

1

2

，1]上有解，可转化为方程a=

3

2

x-x3在区间[

1

2

，1]上有解，构造函数h（x）=

3

2

x-x3，x∈[

1

2

，1]，利用导数法求出函数的值域，即可得到实数a的取值范围，
（3）令a_k=2f（2k+1）-f（k）-f（k+1），利用放缩法及裂项法，我们可以求出

n

k=1

ak≥

5

4

n+

1

60

，构造函数F（x）=lnx-x+2（x≥4）利用导数法，可以判断出函数的单调性，进而判断出

n

k=1

ak＜2n+1，综合讨论结果，即可得到结论．

解答：解：（1）当a=1时，φ（x）=f（x）-g（x）=lnx+

1

x

-

3

2

，
则φ′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
∵在区间（0，1]上，φ′（x）≤0，在区间[1，+∞），φ′（x）≥0，
∴φ（x）在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增．
∴在x∈[4，+∞）上，当x=4时，φ（x）的最小值为φ（4）=ln4-

5

4

．（4分）
（2）∵方程e^2f（x）=g（x）在区间[

1

2

，1]上有解
V即e^2lnx=

3

2

-

a

x

在区间[

1

2

，1]上有解
即a=

3

2

x-x3在区间[

1

2

，1]上有解
令h（x）=

3

2

x-x3，x∈[

1

2

，1]，
∴h′（x）=

3

2

-3x2，
∵在区间[

1

2

，

2

2

]上，h′（x）≥0，在区间[

2

2

，1]上，h′（x）≤0，
∴h（x）在区间[

1

2

，

2

2

]上单调递增，在区间[

2

2

，1]上单调递减，
又h（1）＜h（

1

2

）．
∴h（1）≤h（x）≤h（

2

2

）
即

1

2

≤h（x）≤

2

2

故a∈[

1

2

，

2

2

]…（9分）
（3）设a_k=2f（2k+1）-f（k）-f（k+1）=2ln（2k+1）-lnk-ln（k+1）=ln

4k2+4k+1

k(k+1)

，
由（1）知，φ（x）的最小值为φ（4）=ln4-

5

4

＞0，
∴lnx＞

3

2

-

1

x

（x≥4）
又∵

4k2+4k+1

k(k+1)

＞4，
∴a_k＞

3

2

-

4k2+4k+1

k(k+1)

=

5

4

+

1

4

•

1

(2k+1)2

＞

5

4

+

1

4

•

1

(2k+1) (2k+3)

=

5

4

+

1

8

•(

1

2k+1

-

1

2k+3

)．
∴

n

k=1

ak＞

5

4

n+

1

8

•(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)=

5

4

n+

1

8

•(

1

3

-

1

2n+3

)≥

5

4

n+

1

8

•(

1

3

-

1

5

)=

5

4

n+

1

60

构造函数F（x）=lnx-x+2（x≥4），则F′（x）=

1-x

x

，
∴当x≥4时，F′（x）＜0．
∴F（x）在[4，+∞）上单调递减，
即F（x）≤F（4）=ln4-2=2（ln2-1）＜0．
∴当x＞4时，lnx＜x-2．  
∴a_k=ln

4k2+4k+1

k(k+1)

＜4+

1

k

-

1

k+1

-2，
即a_k＜2+

1

k

-

1

k+1

．
∴

n

k=1

ak＜2n+1-

1

n+1

＜2n+1．
故

5

4

n+

1

60

＜

n

k=1

[2f(2k+1)-f(k)-f(k+1)]＜2n+1，n∈N*．（14分）

点评：本题考查的知识点是导数在最大值，最小值问题中的应用，导数在证明函数单调性时的应用，函数恒成立问题，不等式与函数的综合应用，其中（1）的关键是利用导数法判断出函数的单调性，（2）的关键是利用导数法，求出函数的最值，进而得到函数的值域，而（3）的关键是利用不等式证明的放缩法确定出

n

k=1

ak≥

5

4

n+

1

60

．本题综合了函数，导数，数列应用中的难点，难度较大．