Question

若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的个数是（　　）
①ab≤1；        ②

a

+

b

≤2；    ③a²+b²≥2；       ④a³+b³≥3；    ⑤

1

a

+

1

b

≥2．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：题目给出了两个和为常数2的正数a，b，我们可以借助于基本不等式及其变形式直接推导出其中①③⑤是正确的，②④可以通过举反例说明不正确．

解答：解：由a＞0，b＞0，a+b=2，则ab≤(

a+b

2

)2=(

2

2

)2=1（当且仅当a=b=1时等号成立），所以，①正确；
由

a+b

2

≤

a2+b2 2

，所以，

a + b

2

≤

a+b 2

=

2 2

=1，所以，

a

+

b

≤2，所以，②正确；
由a2+b2=

2a2+2b2

2

≥

a2+2ab+b2

2

=

(a+b)2

2

=

22

2

=2（当且仅当a=b=1时等号成立），所以，③正确；
若a=b=1，满足a＞0，b＞0，a+b=2，但a³+b³=1³+1³=2＜3，所以，④不正确；
因为

1

a

+

1

b

≥2

1 ab

=

2

ab

，而

ab

≤

a+b

2

=

2

2

=1，则

1

ab

≥1，
所以

1

a

+

1

b

≥

2

ab

≥2（当且仅当a=b=1时等号成立），所以，⑤正确．
所以，正确的是①②③⑤．
故选D．

点评：本题考查了基本不等式，考查了不等式的变形，考查了举反例剔除法，运用基本不等式解决问题时一定要注意使用条件，此题是中档题．