Question

若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是

 

（写出所有正确命题的编号）．
①ab≤1；
②

a

+

b

≤

2

；
③a²+b²≥2；
④a³+b³≥3；
⑤

1

a

+

1

b

≥2．

Answer 1

分析：首先对于此类填空题需要一个一个判断，用排除法求解，对于命题②④直接用特殊值法代入排除，其他命题用基本不等式a+b≥2

ab

代入求解即可判断．

解答：解：对于命题①ab≤1：由2=a+b≥2

ab

?ab≤1，命题①正确；
对于命题②

a

+

b

≤

2

：令a=1，b=1时候不成立，所以命题②错误；
对于命题③a²+b²≥2：a²+b²=（a+b）²-2ab=4-2ab≥2，命题③正确；
对于命题④a³+b³≥3：令a=1，b=1时候不成立，所以命题④错误；
对于命题⑤

1

a

+

1

b

≥2：

1

a

+

1

b

=

a+b

ab

=

2

ab

≥2，命题⑤正确．
所以答案为①，③，⑤．

点评：此题主要考查基本不等式的求解问题，对于此类判断命题真假的题目，包含知识点较多需要一个一个分析，容易出错，属于中档题目．