题目内容
1.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0.(1)求A;
(2)若b+c=4,求△ABC的周长的最小值.
分析 (1)利用正弦定理,结合和差的正弦公式,化简可得结论;
(2)利用余弦定理结合基本不等式,可求△ABC的周长的最小值.
解答 解:(1)∵acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0,
∴由正弦定理可得sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC=0,
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sin(A+C)+sinC,
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=1,
∴sin(A-30°)=$\frac{1}{2}$,
∴A-30°=30°,∴A=60°;
(2)由余弦定理a2=(b+c)2-3bc≥$\frac{1}{4}$(b+c)2(当且仅当b=c时取等号),
∴a≥2,
∴a+b+c=a+4≥6,
∴△ABC的周长的最小值为6.
点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用,考查基本不等式,考查学生的计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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16.下列表述中错误的是( )
A. | 归纳推理是由特殊到一般的推理 | B. | 演绎推理是由一般到特殊的推理 | ||
C. | 类比推理是由特殊到一般的推理 | D. | 类比推理是由特殊到特殊的推理 |